U nditerminativu integrata. Càlculu di integrals nditerminativu

Unu di l 'rùbbriche funnamintali di anàlisi matimàtica è lu calculu integrata. Si copre una assai larga campu di uggetti, induve u primu - è u nditerminativu integrata. Position sorgi comu na chjave chì hè sempri in liceu dà un numeru crescita di verbes e pussibilità, chì discrivi a matematica supiriuri.

aspettu

At primu sguardu, pari quandu integrata à mudernu, temàtiche, ma in pratica si gira fora chì ellu ghjunse daretu à u 1800 aC. Home à cunzidiratu ufficiarmenti 'Egittu com'è ùn ci hà lompi prima tistimunianza di u so' esistenza. Hè a causa di la mancanza di nfurmazzioni, tuttu u mentri positioned simpricimenti comu un fenominu. Si facenu assai arreri lu liveddu di sviluppu scientificu di i populi di quelli tempi. Infine, l 'òpiri foru trovu l' antichi matematicu grecu, datati tra la aC, 4th seculu. Numaru di u metudu usatu induve u nditerminativu integral, l 'essenza di u quali hè à truvà (rispittivamenti billet tri-tridiminsiunali è dui-tridiminsiunali,) u vulume, o spaziu di una forma curvilinear. calculu hè basatu nantu à u principiu di classa di u figura uriginale in cumpunenti dô, basta chì u vulume (zona) hè digià cunnisciuta a iddi. Più di tempu, lu mètudu ha crisciutu, Archimedi usatu à truvà lu spaziu di una parabola. calculi simile à u listessu tempu à fà esercizi in antica Cina, induve eranu cumplittamenti indipindenti da a lu diavulu, scienza Grecu.

u sviluppu

U prossimu avanzà in lu XI sèculu aC, hè divintatu u travagliu di i solitaria Arab "carru" Abu Ali al-Basri, ca ammuttau li cunfini di u digià cunnisciutu, sò dirivati da la fòrmula integrata di machine à i summi di u lucali è livelli da u prima à u quartu, entrata di stu cunnisciutu à noi mètudu nnuzzioni.
Menti di oghje sò ammirata da l 'antichi Egizziani creatu u monumentu maravigghiusu senza alcunu Strumenta particulare, fora di quella di i so mani, ma hè ùn hè micca una putenza scentifichi scemu di ùn menu u tempu un miraculu? Cunfrontu cù i tempi realità di a so vita parenu quasi quellu primitivu, ma i dicisioni di integrals nditerminativu deduced quindi è usatu in pràtica di prumove u sviluppu.

U passu prossimu hè accadutu in u XVI u seculu, quandu lu matimaticu Italian Cavalieri purtò lu mètudu indivisible, chì culava Per ferma. Sti dui parsunalità stabilitu u fundamentu di u mudernu calculu integral, chì hè cunnisciuta in u momentu. Iddi cci attaccaru li cuncetti di Cumulus è integrazione, chì eranu digià vistu comu unità self-cuntatu. By e grande, u matimàtica di ddu tempu era particeddi fragmented scuperti esisti da elli, incù usu limitata. Sempre à unificà è truvà terra, cumuna hè u solu è veru à u mumentu, grazie à ellu, u mudernu analisi matimatica era l 'uccasioni di a crisciri e sviluppà.

Cù u passaghju di u tempu cambia tuttu è u simbulu integrata oltri. By e grande, hè statu lassatu scentifichi chì in a so strada, per esempiu, Newton usatu na icona piazza, chì mette una funzione integrable, o simpricimenti a mintiri assemi. Stu disparity Traduzioni durò finu à u XVII seculu, quandu un repère per tutta a tiuria di analisi matimatica scinziatu Gotfrid Leybnits iniziatu un tali caratteru pràticu à noi. Allungatu "S" hè primurosu basatu nant'à sta littra di l 'alfabbetu Rumanu, siccomu c'è la summa di primitives. U nomu di u integrata ottinutu par via di Jakob Bernoulli, dopu à 15 anni.

A definizione furmali

U integrata nditerminativu dipende di a definizione di u quellu primitivu, tantu avemu lagnà si in lu primu postu.

Antiderivative - hè a funzione beta di u derivative, a pratica hè chjamatu quellu primitivu. Altrimenti: funzione primitivu di d - hè una funzione D, chì hè a derivative TB <=> V '= v. Search primitivu hè di calculari lu integrata nditerminativu, è u prucessu si hè chjama integrazione.

esempiu:

A funzione s (y) = Y ^{3 è} u so S primitivu (y) = (Y ^4/4).

U gruppu di tutti i primitives di a funzione - issu hè un integrata nditerminativu, denoted hè a siguenti: ∫v (x) dx.

By virtù di u fattu chì V (x) - sò solu qualchi funzione uriginale quellu primitivu, sprissioni teni: ∫v (x) dx = V (x) + C, induve C - custanti. Sottu la custanti arbitrarie si rifirisci a ogni focu, postu chì u so derivative hè zeru.

proprietà

I proprietà avia da u integrata nditerminativu, balla basatu nantu a definizione è proprietà di Derivati.
Guardà i punti cchiù mpurtanti:

• derivative integrata di a quellu primitivu hè quellu primitivu stissa più un arbitrarie custanti C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivative di u integrata di una funzione hè a funzione uriginale <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• custanti hè stata fora da sottu à u segnu integrata <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, induve l '- hè arbitrarie;
• integral, chì hè pigliatu da a la summa di l 'identically uguali a la summa di integrals <=> ∫ (v (canta) + w (Y)) onda = onda + ∫w (canta) onda ∫v (canta).

L'urtimi dui proprietà pò cunclusu chì u integrata nditerminativu hè linéaire. Ragione di sta, avemu: onda = onda + l∫w (canta) onda ∫ (go (canta) onda + ∫ lw (canta)) k∫v (canta).

À vede li siquenti sunnu asempî di vote suluzioni integrals nditerminativu.

Vi tocca à truvà u ∫ integrata (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Da l 'esempiu putemu cunchiùdiri ca tu nun sacciu comu si scioglie integrals nditerminativu? Just truvà tutti i primitives! Ma a ricerca di i principii discutitu sottu.

I metudi è Esempii

In ordine per scioglie i integral, vi ponu ricursu a lu seguenti mètudi:

• pronti à dispone di u tavulinu;
• integrating da parti;
• integratu da sustituiri la variàbbili;
• summing up sottu à u segnu di u diffirinziali.

tavule

U modu più semplice è e bugliticce. À u mumentu, analisi matimatica pò vantari tavule abbastanti granni epistulariu, chi est fora la fòrmula funnamintali di integrals nditerminativu. In autri paroli, ci sò mudelli dirivatu à voi è vi pò piglià solu benefiziu d 'iddi. Quì hè a lista di i principali pusizzioni tavulinu, chi si pò vede guasi tutti i esempiu, hà una sola suluzione:

• ∫0dy = C, induve C - custanti;
• ∫dy = Y + C, induve C - custanti;
• ∫y ^Traduction onda = (Y ^{Traduction + 1)} / (n + 1) + C, induve C - un focu, è n - numeru differente da unità;
• ∫ (1 / Y) onda = ja | Y | + C, induve C - custanti;
• ^{∫e Y onda = E canta + C} , induve C - custanti;
• ^{∫k Y onda = (K Y /} ja l ') + C, induve C - custanti;
• ∫cosydy = siny + C, induve C - custanti;
• ∫sinydy = -cosy + C, induve C - custanti;
• ∫dy / cos m ² Y = tgy + C, induve C - custanti;
• ∫dy / piccatu ² Y = -ctgy + C, induve C - custanti;
• ∫dy / (1 + Y ²⁾ = arctgy + C, induve C - custanti;
• ∫chydy = girl + C, induve C - custanti;
• ∫shydy = chy + C, induve C - custanti.

Sì bisogna, fà un coppiu di passi portanu integrand à una vista, value e gudirisi la vittoria. Esempiu: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d '(5x - 2) = 1/5 X u peccatu (5x - 2) + C.

Sicondu à a dicisioni hè chjaru chì per esempiu un integrand verbi qui manque multiplicatori 5. Avemu aghjunghje lu in a tempu cun sta tale da 1/5 à sprissioni generale ùn cambia.

Blue da Furniture

Cunziddirati dui funzioni - z (canta) è x (canta). Ci tocca à esse in permanenza diffirinziabbili nant'à u so duminiu. In una pruprietà Cumulus avemu: d (xz) = xdz + zdx. Integrating ntrammi li lati, niàutri pigghiamu: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Riscrìviri l 'equazzioni favurèvuli, niàutri pigghiamu la fòrmula, chì discrivi u mètudu di integrazione da parti: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Perchè hè necessariu? U fattu chì parechji di l'esempii hè pussibili per simplificà, chì l'dì, à muti ∫xdz ∫zdx, siddu l 'ùrtimi hè vicinu à u furmulariu value. Dinù, sta fòrmula pò ièssiri usatu cchiù di na vota, di i risultati température.

How to scioglie integrals nditerminativu sta manera:

• necessaria à u calculate ∫ (s + 1) E ^2s DS

∫ (x + ^{1) E 2s DS = {, z =} 's + 1, dz = DS, Y = 1 ^{/ 2e 2s, onda = E 2x} DS} = ((s + 1) E ^2s) / ^2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) E ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• bisogna di calculari ∫lnsds

∫lnsds = {, z = lns, dz = DS / s, Y = s, onda = ds in} = slns - ∫s X DS / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Sustituiri la variàbbili

Stu principiu di risolviri integrals nditerminativu sò micca menu à u mondu di i prima dui, sippuru cumplessa. U mètudu hè a siguenti: Chì V (x) - u integrata di qualchi funzione v (x). In u casu chì a stessa integrata in Frasi slozhnosochinenny vene, hè prubabilmente a arrivare cunfusa è fala la suluzzioni chjassu è sbagghiatu. A evitari sta cambià e pratiche da l 'ex variàbbili a z, in u quali l' esprissioni generale pratica visually mentri mantinimentu di la g sicondu u ex.

In termini di matimatica, issa hè a siguenti: ∫v (x) dx = ∫v (Y (g)) canta '(g) dz = V (g) = V (Y -1 (x)), induve x = Y ( , z) - sustituzzioni. È, di sicuru, a funzione beta, z = Y ^-1 (x) discrivi cumplettamente u raportu è u raportu di e variàbili. nota impurtanti - l 'dx diffirinziali godi sustituitu cun un novu dz diffirinziali, postu chì u scambiu di variàbile in u integrata nditerminativu seti sustituì u locu, micca cum'è in u integrand.

esempiu:

• tocca à truvà ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) DS

S'applicanu a diri a sustituzzioni, z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Allora dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) DS = dz / 2. Cum'è un risultatu, i seguenti sprissioni, chì hè assai fàciule à calculer:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | g | + C = 1 / 2ln | l ² + 2s-5 | + C;

• vi tocca à truvà u integrata ∫2 ^di E ^di dx

À scioglie a riscrìviri in i siguenti manera:

^{∫2 di E di DS = ∫ (} 2e) s DS.

Avemu parrari da un = 2e (sustituiri di l 'argumentu stu passu ùn hè micca, è hè sempri l'), avemu dà i nostri pari cumplessa integrata à forma value fundamentali:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} di DS = una s / lna + C = (2e) s / ja (2e) + C = 2 ^l E ^s / ja (2 + lne) + C = 2 ^l E ^s / (ln2 + 1) + C.

Summing up un segnu diffirinziali

By e grande, stu mètudu di integrals nditerminativu - u fratellu, sand di u principiu di u cambià di variàbbili, ma ùn ci sò differenze in u prucessu di iscrizzione. Andemu guardà a più tecnica.

Sè ∫v (x) dx = V (x) + C è Y = z (x), allura ∫v (canta) onda = V (canta) + C.

À u listessu tempu ùn ci vole scurdà di i trasfurmazzioni cchiù integrata banale, tra li quali:

• dx = d '(x + a), è allora - ogni custanti;
• dx = (1 / a) d '(piola + b), induve una - torna u focu, ma ùn zeru;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

Sè noi guardà u casu generale, induve noi di calculari lu integrata nditerminativu, li siquenti sunnu asempî pò subsumed sutta la fòrmula ginirali gia '(x) dx = D (x).

esempi:

• tocca à truvà ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d '(2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

aiutu in ligna

In certi casi, la curpa di li quali pò addivintari o truvai, o un bisognu urgente, pudete puru aduprà u cuneiforme online, o piuttostu, à utilizà un berechnen integrals nditerminativu. Nunustanti lu cumplessità apparenti e natura, cuntruversu di u integrals, i dicisioni hè sughjettu di u so algutitimu spécifique, chì hè basatu nantu à u principiu di "se tù ùn ... allura ...".

Di sicuru, un particulari solu li siquenti sunnu asempî di un tali berechnen ùn vi ammaistrà, com'è ci sò casi in cui 'na dicisioni hè di truvà una naturale "furzatu" da inizià certi elementi à u prucessu, parchì i risultati sò manere cunfusione a lompi. Nunustanti la natura, cuntruversu di sta frasi, ma hè vera, cum'è l 'matematica, in principiu, una scienza, astrattu, è u so scopu primariu cunsidareghja u bisognu di empower lu cunfini. Infatti, per un pelu scappu-in u tiurìi hè assai difficiule a terra move, è evoluèghjani, cusì ùn pigghiarivi chì u li siquenti sunnu asempî di risolviri integrals nditerminativu, ca dettiru - chistu è l 'autizza di pussibilità. Ma daretu à l 'latu tecnicu di e cose. Almenu à verificà i calculi, pudete puru aduprà u serviziu in lu quali fù scrittu à noi. Sè ci hè un bisognu di calculu automatica di spressioni, allura si nun hannu a tirai a un prugrammu di più seriu. Deve pagà attinzioni principalmente à l 'ambienti MatLab.

dumanda

A decisione di integrals nditerminativu a primu sguardu mi pari cumplitamenti proximité da a rialità, perchè ghjè difficiule di vede l 'usu cunfusione di u n'aeriu. Infatti, li aduprà direttamente partutu vo ùn pò, ma si sò una cumpunente ntirmediu nicissariu in u prucessu di uparazioni di suluzioni usatu in pràtica. Cusì, i relazioni di Cumulus daretu, cusì attivamenti participà à u prucessu di risolviri equazioni.
In turnu, sti iquazziona hannu un impattu direttu supra la dicisioni di prublemi meccanichi, calculu trajectoire e giant termichi - in cortu, tuttu ciò chì custituisci l 'attuali è mudellà lu futuru. Nditerminativu integral, li siquenti sunnu asempî di cui avemu riflittutu, sopra, solu banale a prima sguardu, cum'è una basa di purtà fora di più è più novi scuperti.