Tressu trapezoid iquilatiru. Cosa hè a linia menzu di l 'trapezoid. Types of trapezoids. Trapezziu - si ..

Trapezziu - un casu particulare di un quadrangle, in cui unu paru di latu hè tempu. Lu tèrmini "trapezoid" diriveghja da a parolla τράπεζα Grecu, ca significa "tàvula", "tavula". In issu articulu noi vi taliarlu tippi di trapezziu e so pruprietà. Dinù, avemu taliarlu cumu a calculari lu elementi individuale di u figura aspettu. Per esempiu, i diagunali di un tro iquilatiru, la linia media, spaziu è altri. A materia cuntenute in i geomitria stile pupulari elementari, t. E. In una manera facirmenti accissìbbili.

Overview

Prima, chì l'capisce ciò chì un quadrangle. Sta figura è nu casu particulari di un courbe avè quattru lati e quattru vertici. Dui vertici di un quadrature, chì ùn sò aghjacenti, chiamatu oppostu. U listessu pò esse dettu di i dui lati non-sa crèsia. U principale tippi di quadrangles - un parallelogram, rectángulo, Cerca Italiano, piazza, trapezoid è deltoid.

So daretu à l 'trapezziu. Comu avemu dettu, sta fiura i dui lati sò paralleli. Iddi sunnu chiamati basi. L 'àutri dui (non-tempu) - i lati. A materia di i diversi Esami è Esami assai spissu si pò scuntrà ind'è assuciata incù trapezoids quale suluzione à spessu abbisogna a cunniscenza di u studiente micca cupertu da u prugrammu. Scuola di geomitria Course prisenta sculari cù diedrali proprietà e diagonals oltri la linia midiana di un trapezoid auricular. Ma tranni chi rifirisci a na forma moderna hà altre funziunalità. Ma circa li più tardi ...

tippi trapezziu

Ci sunnu tanti tipi di sta fiura. Tuttavia, più à spessu abitudini à guardà dui di elli - auricular è de furma.

1. trapezoid Rectangular - una figura in cui unu di i lati parpindiculari à a basa. Idda havi dui diedrali sunnu sempri uguali a novanta gradi.

2. auricular tro - una figura moderna quale lati sò uguali. So, è u diedrali à la basi dinù sò uguali.

U principale principii di i metudi di a studiari l 'uggetti di u trapezoid

I principi di basi cumprendi l 'usu d' accussì-chiamatu approcciu compitu. In fatti, ùn ci hè micca bisognu di entre in un cursu teorichi è n'uggettu di novu proprietà di sta fiura. Si pò esse aperta o in u prucessu di furmulà i sfarenti fatti (megghiu sistemu). Hè assai mpurtanti chi lu maistru di sapè cum'elli fatti vi tocca à mette in fronte di i studienti in ogni datu tempu di u prucessu amparera. Oltri a chistu, tutti li prupitati trapezoid pò rapprisintatu comu un compitu chjave in u sistemu compitu.

U sicondu principiu hè u cusì-chiamatu urganizazione spirale di u studiu "assignalati" proprietà trapezziu. Stu significa un ritornu à u prucessu di prisenza di l 'individuu carattiristichi di u figura moderna. Cusì, i studienti più fàciule à sapere elli. Per esempiu, u duminiu di i quattru punti. Si pò esse schiarisci cum'è in u studiu di similàri è dopu cù vettori. A Parigghi trianguli cunfinanti à i lati di a fiura, hè pussibili à determinà usandu micca solu a proprietà di trianguli incù altezza, uguali purtò à i lati di u quali si trovani à una ligna drittu, ma dinù da usannu la fòrmula S = 1/2 (A ab * sinα). Esiste, hè pussibule à u travagliu fora la liggi di sines à l 'tro Taglia o triangulu rittangulu-angled è trapezoid discritta in t. D.

L 'usu di "extracurricular" ritrova una figura moderna in u cuntenutu di sicuru a scola - un tasking a so duttrina tecnulugia. riferimentu custanti di studiari l 'uggetti di u passaghju di l'altri permette à i studienti di amparà u trapezziu nfunnu è cura u successu di u compitu. Allura, avemu viaghjà à u studiu di stu bravu figura.

Elementi è proprietà di nu trapezoid auricular

Comu avemu rimarcatu, in issa figura moderna lati sò uguali. Eppuru hè cunnisciuta cum'è una trapezoid dritta. È ciò chì hè cusì bravu, è per quessa hè u so nomu? U prughjettu particulare di sta fiura lija ch'edda hà micca solu lati uguali è angles à la basi, ma dinù biais. In più, la summa di l 'diedrali di un trapezoid auricular hè uguali à 360 gradi. Ma chì ùn hè tuttu! Solu intornu auricular pò èssiri discrittu da un circulu di tutte e trapezoids cunnisciutu. Quissa hè duvuta a lu fattu ca la summa di diedrali upposta in sta fiura hè 180 gradi, è solu sottu sta cundizione pò discrivutu comu un circulu attornu a l 'quadrangle. Li siquenti proprietà di u figura moderna hè chì a distanza da u cima di u fundamentu di u projection di i cimi parè nantu à a linia chì cuntene sta basi sarà uguali à u midline.

Ch'e l'taliarlu quantu à truvà i scorni di un trapezoid auricular. Guardà una suluzione à stu prublema, furnì chì a taglia di i partiti canusciutu figura.

dicisioni

Hè abitudini a parrari lu russu quadrangle A, B, C, D, induve l 'BS e BP - un fundamentu. In un trapezoid auricular lati sò uguali. Avemu dinò chì u so pesu hè uguali à X è cunsiderate Y sò basi e Z (minuri e cchiù granni, rispittivamenti). Di u calculu di l 'àngulu di u bisognu di passà à l' autizza H. U risultatu hè un triangulu rittangulu-angled ABN induve AB - l 'iputenusa, è BN è AN - l' li gammi. Calculari lu pesu di la gamma AN: scassinatore da i basi più minimu, è u risultatu hè divisa da 2. scrive una fòrmula: (si) / 2 = F. Avà, a calculari lu angle di u cos m funzione usu triangulu. Avemu venenu i seguenti Plus: cos m (β) = X / F. Avà di calculari lu angolo: β = Arcos (X / F). In seguita, sapennu unu angulu, noi pò definisce è siconda, a fari stu funziunamentu nnumari elementari: 180 - β. All diedrali sò discritti.

Ci hè dinù una seconda suluzione di stu prublemu. À u principiu si sà mai da u santu in a so altezza di u gamma N. calculates i valori di u BN. Sapemu chì u quatratu di l 'iputenusa di un triangulu rittangulu hè uguali à a summa di li chiazzi di l' àutri dui lati. Avemu arrivare: BN = √ (X2 F2). Next, avemu usari li funzioni vo trigonometric. U risultatu hè: β = arctg (BN / F). U angle hè trovu. Next, avemu definisce una angle, ottusu cum'è in a prima mètudu.

U duminiu di i diagonals di un trapezoid auricular

Prima, avemu scrìviri li quattru regule. Sè i diagunali in un trapezoid auricular sò parpindiculari, tandu:

- l 'altezza di u figura hè uguali à a summa di basi, spartutu da dui;

- u so altezza è a linia media sò uguali;

- spaziu di u trapezoid hè uguali à u quatratu di l 'autizza (ligna centru di basi medità);

- u quatratu di u diagunali di u quatratu hè uguali à mità di la summa dî dui voti l 'appoggiu piazza, o midline (altu).

Ora viditi a la fòrmula difinennu l 'diagunali un trapezoid iquilatiru. Stu pezzu di infurmazione pò esse divisa in quattru parte:

1. Formula lunghezza de tressu à u so latu.

Avemu dinò chì Un hè - a basi di bassa, B - Top, C - lati uguali, D - tiria. In stu casu, a lunghizza pò esse truvatu sicuenti:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Formula di la lunghizza diagunali di u ad hoc.

Avemu dinò chì Un hè - a basi di bassa, B - Top, C - lati uguali, D - tiria, α (à la basi di bassa) è β (i basi suprana) - scorni trapezoid. Avemu venenu i seguenti fòrmula, da cui unu pò calculari lu lunghezza di i diagunali:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula lunghezza diagunali di un trapezoid auricular.

Avemu dinò chì Un hè - a basi di bassa, B - supranu, D - tiria, M - line francese medio H - autizza, P - spaziu di u trapezoid, α è β - l 'angle, trà diagonals. Darà la lunghizza di la seguenti pussibulità:

- D = √ (M2 + ° 2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Per stu casu, la parità: sinα = sinβ.

4. Formula lunghezza de tressu, attraverso li lati è altu.

Avemu dinò chì Un hè - a basi di bassa, B - Top, C - lati, D - tiria, H - autizza, α - angle, incù u fundamentu bassa.

Darà la lunghizza di la seguenti pussibulità:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementi è proprietà di nu tro furma

A Canzona di circà à ciò chì sò interested in sta figura aspettu. Comu avemu dettu, avemu un trapezoid furma dui diedrali dritta.

Altronde a definizione classica, ci sò altri. Per esempiu, una trapezoid furma - un trapezoid in cui unu cantu hè parpindiculari à a basa. O forma avè à diedrali latu. In issu tippu di autizza trapezoids hè u cantu chi hè parpindiculari à i basi. A ligna media - un cantu chì cullega u midpoints di i dui lati. U duminiu di li disse elementu hè chì hè tempu à i basi è uguali a la mità di lu so summa.

Ch'e l'guardà i formuli fundamentali chì definisce u formi moderna. Per fà quessa, avemu dinò chì A è B - basi; C (parpindiculari à a basa) è D - lati di u tro furma, M - line francese medio, α - angle, P - 'aria.

1. U cantu parpindiculari à i basi, una figura paru à l 'autizza (C = N), è signu la lunghizza di la secunna parti A è i die di u α, angle, at a più grande basi (C = A * sinα). Oltri a chistu, si hè uguali à u pruduttu di u tangente di u α angle e la diffirenza in basi: C = (A-B) * tgα.

2. U cantu D (micca parpindiculari à a basa) paru à l 'quotient di a diffarenza di A è B è ad hoc (α), o un angle à l' altezza privatu cumparisci H è angle die: A = (A-B) / cos m α = C / sinα.

3. U cantu chì hè parpindiculari à i basi, hè uguali à a ràdica quatratu di u quatratu di u patrimonio D - la secunna parti - è un diffirenzi basi quatratu:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side A trapezoid furma hè uguali à a ràdica piazza di una summa piazza di un latu chiazza e basi C moderna diffarenza forma: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. U cantu C hè uguali à u quotient di u quatratu, doppia la summa di l 'appoggiu: C = P / M = 2P / (A + B).

6. U spaziu difinitu da u prodottu M (i ligna centru di l 'trapezoid furma) in altu, o in direzzione latéral parpindiculari à i basi: P = M * N = M * C.

7. Position C hè u quotient di volte a forma, piazza da u pruduttu, angle, die fini è la summa di l 'appoggiu: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. latu Formula di un tro furma à traversu u so tiria, è l 'angle, frà elli:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

induve D1 è D2 - diagunali di u trapezoid; α è β - l 'angle, frà elli.

9. latu Formula à traversu un angolo à i basi di bassa è altri: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Dapoi u trapezoid cun diedrali dritta hè un casu particulare di u trapezoid, l 'autri funzioni chì definisce ste figure, hà da scuntrà elli e furma.

Case incircle

Sè l 'cundizione hè dettu chì in un trapezoid Taglia cìrculu furma, allura vi ponu aduprà i seguenti proprietà:

- u numeru di i basi hè la summa di l 'latu;

- distanza da u cima di u forma rettangulari à i punti di tangency di u circulu Taglia hè sempre uguali;

- altezza di u trapezoid hè uguali à u latu, parpindiculari à i basi, è hè uguali à u diamitru di u circulu ;

- u centru circulu hè u puntu a cui intersecani droit di diedrali ;

- se lu latu latéral di u puntu di cuntattu hè divisu in veru N è M, allura lu raghju di u chjerchju hè uguali à a ràdica quatratu di u prodottu di sti spichji;

- quadrangle furmatu da u punti di cuntattu, a cima di u trapezoid è u centru di u cerchju Taglia: - hè un quatratu, u quale ellu hè uguali à u raghju;

- spaziu di u figura hè u prodottu di raghjoni, è u prodottu di a mità di-summa di basi a so altezza.

trapezziu listessu

Stu tema hè assai interessante per studià i proprietà di figure moderna. Per esempiu, i divisioni de tressu in quattru trianguli trapezoid, è sò appiccicati à u fundamentu di u cum'è, è à i lati - di uguali. Stu manifestu pò esse chjamatu una pruprietà di trianguli, chì hè trapezziu rottu u so diagonals. A prima parte di sta frasi, hè chì schiarisci à traversu u segnu di u similàri di i dui scorni. À pruvà la secunna parti hè megliu à aduprà lu mètudu stirminiu diliniati sottu.

a prova

Accetta chì figura ABSD (AD e aC - la basi di l 'trapezoid) hè diagonals ruttu HP è AC. U puntu di Intersection - O. Avemu arrivare quattru trianguli: AOC - a la basi di bassa, BOS - la basi supranu, Tullinge è inglese sod à i lati. Trianguli inglese sod è biofeedback hannu un altezza cumuna in stu casu, si lu spichji di BO è OD sò i so basi. Avemu trovu chì a diffarenza di i so lochi (P) paru à l 'diffarenza di sti spichji: PBOS / PSOD = BO / ML = K. cunsiguenza, PSOD = PBOS / K. Grafia simile, u trianguli AOB è biofeedback hannu un altezza cumune. Accettatu di u so spichji basi SB è AZ. Avemu venenu PBOS / PAOB = CO / AZ = K e PAOB = PBOS / K. Da issu si seguita chì PSOD = PAOB.

À puntiddà i studianti materie sò anu à truvà una cunnessione frà i spazii di trianguli acquistatu, chì hè trapezziu rottu u so diagonals, purtau lu compitu prossimu. Hè cunnisciutu chì lochi trianguli BOS è ADP sò uguali, hè necessaria à truvà lu spaziu di una trapezoid. Dapoi PSOD = PAOB, puis PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Da l 'similàri di trianguli BOS è Anm seguita chì BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Di cunsiguenza, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Get PSOD = √ (* PBOS PAOD). Allora PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

proprietà similàri

Cuntinuemu à sviluppà stu tema, hè pussibili à pruvà, è altre funziunalità ntirissanti di u trapezoids. Cusì, incù l'aiutu di u similàri pò determinà a linìa a pruprietà, chì passa à u puntu furmatu da u Intersection di u diagonals di a figura moderna, listessu tempu à a terra. Per issu noi scioglie i seguenti prublema: hè necessaria à truvà u linìa RK durata chì passa à u puntu O. Da u similàri di trianguli ADP è pud seguita chì u AO / OS = AD / BS. Da l 'similàri di trianguli ADP è Asb seguita chi AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Stu significa chi la BS * PO = AD / (AD + aC). Grafia simile, da u similàri di trianguli MLC è abr seguita chì OK * BP = BS / (BP + BS). Stu significa chi la OC è RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + aC). Linìa passava à traversu u puntu Intersection di u diagonals tempu à i basi e culligamentu i dui lati, lu puntu Intersection hè divisa in mezzu. U so lunghezza - hè u tempu harmonic di figure ragiuni.

Guardà i seguenti carattiristichi di un trapezoid, chì si chjama u duminiu di quattru punti. lu puntu di Intersection di u diagonals (D), u Intersection di u mantinimentu di i lati (E) oltri a mità di-basi (T è G) si trovani sempri u listessu linia. Hè facile à determinà u mètudu similàri. I trianguli favurèvuli sò BES listessu è AED, è ognunu ancu una midiana ET e DLY fàcenu u àngulu nahko E in parti uguali. Quì, puntu E, T è F sò collinear. Grafia simile, u listessu ligna hè almanaccatu in termini di T, O, è G. Stu seguita da u similàri di trianguli BOS è Anm. Induve noi cunchiùdiri ca tutti i quattru termini - E, T, O è F - vi si trovani in un linìa.

Cù trapezoids listesse, ponu esse pruposti à i studienti di truvà u bastimentu di u cantu (LF), ca dividi a figura in dui, comu. Sta tagliata deve esse tempu di l 'appoggiu. Dapoi u trapezoid ALFD LBSF ricevutu è simile, u BS / LF = LF / AD. Stu significa chi LF = √ (BS * BP). Avemu cunchiùdiri ca lu cantu chì dividi nta dui tro, comu, hà una lunghezza uguali a lu tempu moderna di u veru di i basi facili.

Pigliate a so pruduzzione simili. A so basa sianu un segmentu chì dividi u trapeziale in dui figuri nigualti. Assicùbenu chì u trapeziu di ABSD hè divisu da una secunione di EH in dui simili. Un altu hè cattivatu da u vedice B, chì hè divisu da un segmentu EH à dui parti - B1 è B2. Avemu: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 è PABSD = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Cumu avemu fattu un sistema chì a prima equazioni hè (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 è a secunna (BS + EH) * B1 = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Da quì segue chì B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) è BS + EH = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). Avè ottene chì a larghezza di u segmentu chì dividi u trapeziu in dui pareti uguale hè uguali à a radica di a radica curretta square: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Similar conclusion

Cusì, avemu compru chì:

1. U segmentu à cunnetta cù u trapeziu di u mezu di e latte lateral hè parallelu à l'arteriale è BS è hè uguali à l'usu aritmeticu di a BS è AD (a durata di a basa di u trapeziu).

2. A via chì passa in u puntu O di a intersezzione di i diagonali paralleli à l'AD è BS serà ugguali à l'armunia mediana di i numeri AD è BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. U segmentu chì divide u trapeziale in parechji simili hè a longu di i basi geomtronii medichi di u BS è AD.

4. L'elementu chì divide a figura in dui paraguni uggetti hè a durata di u quadru di i numeri AD è BS.

Per cuncolazione di u materiale è avè bisognu a cunnissioni trà i segmenzii analizati, l'alumna ci vole à custruiscia per un trapezoide specifieru. Pudete facilmente facilmente a linea di u mediu è u segmentu chì passa per u puntu O - a intersezzione di e diagonali di a figura - paralilla à i basi. Ma induve a terza è a quarta serena? Sta risposta durà u studiente à u scupertu di a relazione vogliosa entre i valori media.

U segmentu cunghjuntenu i punti mezi di i diagonali di u trapeziu

Pigliate a seguitu propiu di questa figura. Cunnisciamu chì u segmentu MN hè parallelu à e basa è dividite e diagonali in a meza. I punti di intersezzione serà chjamatu W è W. Stu segmentu serà ugguali à a basa di a mezza diferenza. Analizate cusì in più detail. U MS hè a linea mediana di u triangulu ABC, hè uguale à BS / 2. MN hè a linea mediana di u triangulu ABD, hè uguali à AD / 2. Allora uttene un M, = MN-MN è, per consi, M, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Centre of gravity

Eccu nant'à stu articulu hè definitu per una figura geometrica. Per questu, hè necessariu allargà e basa in direczione opposti. Chì significarà? Hè necessariu aghjunghje à a base supiriori a mansa più manca, à ogni uppuru, per esempiu, à a diritta. È u fondu hè stesu da a longu di l'upertu massimu. Allora lascia cù una diaggine. U puntu di a intersezzione di stu segmentu cù a linea mediana di a figura hè u centru di gravità di u trapeziu.

Trapeziu inseriti è scritti

Fighjemu i caratteristiche di such figures:

1. Un trapeziu pò esse inscritto in un cerculu solu s'ellu hè isòscelle.

2. In ghjiru à a circunfirenza ponu scrivene un trapeziu, basta chì a summa di i longhi di e so basa hè uguali à a summa di i longhi di i costi laterali.

E cunsicenzi di u circhiu inscribed:

1. L'altura di u trapeziu discursu hè sempre uguali à dui radii.

2. A parti laterale di u trapeziu discrittu hè osservatu da u centru di u circhiu à u angulu right.

U primu corollariu hè obitu, è per pruvà sta secunda hè necessariu di stabilisce chì l'angulu di a SOD hè diretta, chì, in fattu, ùn sia quantità assai difficultà. Ma u sapè di questa immubiliaria ci permettenu di applicà un triangulu giustu in quandu solu solu i prublemi.

Avà concretemu questi consegni per un trapezoide isosceles, chì hè inscribed in un cerculu. Avemu chì l'altura hè a medita geomètrica di a basa di a figura: H = 2R = √ (BS * AD). U travagliu di u metudu bàsicu di risolviri prublemi per trapezoide (u principiu di teni dui alture), l'alumna tene solu a so funzione. Assicùbbenu chì BT hè l'altezza di una figura di Isosceles di ABSD. Hè necessariu per truvà segmenti AT è TD. Aduprà a furmazione deskata prima, questu ùn sarà micca difficile per fà.

Scupremu cusì à a determinazione di u radiu di un cerculu usendu a zona di u trapeziu discritta. Bajate l'altura da u top B à a basa di a pressione di sangue. Siccomu u cerculu hè inscrittu in u trapeziu, dopu BS + AD = 2AB o AB = (BS + AD) / 2. Da u triangulu ABN truvamu sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Avemu a PABSD = (BS + AD) * R, secondu chì R = PABSD / (BS + AD).

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Tutte e formule di a mezza linea di u trapeziu

Avà hè u tempu d'andà à l'ultimu elementu di sta figura geomitrica. Veju ciò chì a linea mediana di u trapezu (M) hè:

1. Per mezu di e base: M = (A + B) / 2.

2. À l'altura, base è angles:

• M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. À traversu l'altura, i diagonali è l'angolo frà elli. Per esempiu, D1 è D2 sò diagonali di u trapeziale; Α, β sò l'anguli trà elli:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. À traversu l'aria è l'altura: M = P / H.